Démonstration constructive de l’existence de polynômes de Bernstein-Sato pour plusieurs fonctions analytiques

In 1987, C. Sabbah proved the existence of Bernstein-Sato polynomials associated with several analytic functions. The purpose of this article is to give a more elementary and constructive proof of the result of C. Sabbah based on the notion of the analytic Gröbner fan of a D-module. Introduction et énoncé des résultats principaux Fixons n > 1 et p > 1 deux entiers et v ∈ N. Soient x = (x1, . . . , xn) et s = (s1, . . . , sp) deux systèmes de variables. On se donne f1, . . . , fp ∈ C{x} = C{x1, . . . , xn}. Notons Dn l’anneau des opérateurs différentiels à coefficients dans C{x}. Pour b(s) ∈ C[s] = C[s1, . . . , sp], considérons l’identité suivante : (?) b(s)f ∈ Dn[s]f , où fs+v = f11 1 · · · f sp+vp p . Un polynôme b(s) vérifiant une telle identité est appelé polynôme de Bernstein-Sato (associé à f = (f1, . . . , fp)). L’ensemble de ces polynômes forment un idéal appelé idéal de Bernstein-Sato (associé à f) et qu’on note B(f). Rappelons que c’est I.N. Bernstein [Ber72] qui, dans le cas p = 1 et où f est polynomiale, a montré que l’idéal B(f) est non nul (dans ce cas, il faut, dans (?), remplacer Dn par l’algèbre de Weyl An(C), i.e. l’algèbre des opérateurs différentiels à coefficients polynomiaux). Dans le cas où f est analytique et toujours pour p = 1, la non nullité de B(f) revient à J.E. Björk [Bjö73] avec des méthodes similaires à celles employées dans [Ber72]. Dans ce même cas, citons M. Kashiwara [Kas76] qui publia une autre preuve et démontra en plus que le générateur unitaire de l’idéal de BernsteinSato est à racines rationnelles. Pour p > 2, la preuve dans le cas polynomial est une généralisation facile de celle de I.N. Bernstein, que l’on peut trouver dans [Lic88]. Dans le cas analytique avec p > 2, la non nullité de B(f) a été démontrée par C. Sabbah ([Sab87a] et [Sab87b]). Citons la contribution de A. Gyoja [Gyo93] qui a repris la preuve de C. Sabbah en montrant de plus que B(f) contient un élément rationnel non nul. L’objet du présent article est une mise au point de la preuve donnée par C. Sabbah. Plus précisément, on peut décomposer la preuve de C. Sabbah en deux grandes étapes : la première utilise des arguments similaires à ceux employés par M. Kashiwara dans le cas p = 1, la deuxième consiste essentiellement en un résultat de finitude qui permet par la suite de se ramener au résultat de la première étape. La seconde étape de la preuve de C. Sabbah s’appuie sur un éventail dit adapté ([Sab87a] prop. 2.2.1 et th. A.1.1) dont l’existence mériterait une mise au point technique supplémentaire (voir le commentaire qui suit le th. S1). Aussi, nous proposons dans cet article un 2000 Mathematics Subject Classification 16S32, 13P10, 16W50, 16W70